Conjectures homologiques, catégories stables et représentations de carquois infinis

Abstract

Cette thèse comprend les résultats de trois articles dont deux sont publiés. L'un a été rédigé par l'auteur et l'autre par l'auteur ainsi que son directeur. Le dernier article est en cours de rédaction. Les résultats de cette thèse qui apparaissent dans ce dernier article ont tous été travaillés par l'auteur.Cette thèse comprend donc des résultats qui touchent des sujets de l'algèbre légèrement différents. La première partie de la thèse s'intéresse aux algèbres strictement stratifiées. Nous montrons qu'une algèbre strictement stratifiée a toujours une dimension finitiste injective finie et nous donnons une borne pour celle-ci. Nous montrons également que tout module simple de dimensions injective et projective finies n'admet pas d'auto-extension non nulle. Ceci montre une version plus faible de la conjecture forte d'absence de boucles (Strong no loop conjecture, en anglais). Finalement, nous montrons qu'une algèbre strictement stratifiée a toujours un déterminant de Cartan positif. De plus, nous montrons que ce déterminant vaut un si et seulement si la dimension globale de l'algèbre est finie. Cela montre, en particulier, la conjecture du déterminant de Cartan et sa réciproque pour la classe des algèbres strictement stratifiées. Dans la seconde partie, nous nous intéressons à la catégorie stable injective (ou projective) d'une algèbre d'Artin. Nous montrons qu'elle est triangulée si et seulement si A est stablement équivalente à une algèbre auto-injective, si et seulement si A est auto-injective ou de Nakayama de longueur de Loewy deux. Nous montrons également que ces conditions sont équivalentes à demander que la catégorie stable injective soit faiblement abélienne. Ce résultat montre la réciproque d'un résultat de Happel (voir [22, théorème 2.6]) affirmant que si A est auto-injective, alors la catégorie stable injective est triangulée. Finalement, la dernière partie de cette thèse s'intéresse aux représentations localement de dimension finie d'un carquois Q sur un corps algébriquement clos. Nous supposons que Q est infini, connexe, localement fini et fini par intervalle. Nous nous intéressons à l'existence de suites presque scindées dans la catégorie qui contient ces représentations, notée rep(Q). Nous montrons, en particulier, que pour tout objet X de rep[indice supérieur +](Q), la sous-catégorie pleine de rep(Q) des représentations de présentation finie, il existe une suite presque scindée dans rep(Q) se terminant en X . Nous donnons des conditions nécessaires et suffisantes pour que la catégorie rep[indice supérieur +](Q) admette des suites presque scindées à droite ainsi que des suites presque scindées. Sous l'hypothèse que rep[indice supérieur +](Q) admette des suites presque scindées à droite, nous étudions les composantes du carquois d'Auslander-Reiten de la catégorie rep[indice supérieur +](Q). Nous donnons une description complète de ces composantes. Nous montrons qu'il existe deux types de composantes régulières. Celles de type [Special characters omitted.] et celles de type [Special characters omitted.]. Nous montrons également que le nombre de telles composantes est fini si et seulement si le carquois Q est de type Dynkin infini. Nous montrons finalement que si le carquois Q satisfait à une certaine condition sur ses marches acycliques infinies, alors toutes les composantes régulières du carquois d'Auslander-Reiten sont de type [Special characters omitted.].