L'espace classifiant d'un carquois lié et cohomologie(s) des algèbres de dimension finie

Abstract

Étant donné un carquois lié (Q,I), nous lui associons un CW-complexe, que nous notons [bêta](Q,I) et appelons l'espace classifiant de (Q,I). Dans un premier temps nous étudions l'homotopie de [bêta](Q,I). Plus précisément, nous montrons que son groupe fondamental est isomorphe au groupe fondamental de (Q,I). Par la suite, nous prouvons qu'à défaut d'être fonctorielle cette construction se comporte bien par rapport aux revêtements de carquois liés. Dans un deuxième temps, nous considérons un corps k et l'algèbre A = kQ/I . Nous montrons alors que, lorsqu'elles sont définies, l'homologie et la cohomologie simpliciale de A coïncident avec l'homologie et la cohomologie de [bêta](Q,I). Par ailleurs, nous comparons cette dernière à la cohomologie de Hochschild de A. Notamment, nous établissons des conditions suffisantes pour l'existence d'un isomorphisme entre ces différents groupes de cohomologie. Finalement, nous montrons que les homomorphismes mentionnés ci-haut induisent des homomorphismes d'anneaux de cohomologie. La construction de [bêta](Q,I), ainsi que la grande majorité des résultats présentés sont contenus dans les articles [15, 16].