Résolution du problème de transfert de chaleur par une approche TAC : application au traitement et à l'analyse des images

Abstract

Nous proposons une alternative aux équations aux dérivées partielles (EDP) en vue de solutionner certains problèmes en traitement d'images qui sont basés sur un modèle de transfert de chaleur. Traditionnellement , la démarche pour solutionner de tels problèmes basés sur un modèle de champs physiques est de discrétiser et de solutionner une EDP par un procédé purement mathématique. Au lieu de l'EDP, nous proposons d'utiliser une approche qui consiste à décomposer en lois de base, le principe global de conservation de chaleur. Nous montrons que certaines de ces lois admettent une version globale et exacte puisqu'elles proviennent de principes conservateurs. Nous montrons également que les hypothèses sur les autres lois de base peuvent être faites de façon avisée, en tenant compte de certaines connaissances sur le problème et le domaine. Nous utilisons un modèle d'images basé sur la topologie algébrique calculatoire qui nous permet d'encoder simplement les lois de conservation en liant une valeur globale sur un domaine avec des valeurs sur les frontières de ce domaine. Le schéma numérique est dérivé directement du problème modélisé. Ce procédé fournit une explication physique de chaque étape de la résolution. Nous appliquons ce schéma à plusieurs problèmes de traitement d'images qui sont tous régis par le transfert de chaleur : la reconstruction d'images à partir du Laplacien, le calcul du flot optique, le débruitage par diffusion des niveaux de gris et des couleurs ainsi que la retouche d'images ( «inpainting» ).

Abstract: This thesis proposes an alternative to partial differential equations (PDEs) for the solution of some problems in computer vision based on the heat transfer equation. Traditionally, the method for solving such physics-based problems is to discretize and solve a PDE by a purely mathematical process. Instead of using the PDE, we propose to use the global heat equation and to decompose it into basic laws. We show that some of these laws admit an exact global version since they arise from balance principles. We also show that the assumptions made on the other basic laws can be made wisely, taking into account knowledge about the problem and the domain. We use a computational algebraic topology-based image model which allows us to encode a physical conservative law by linking a global value on a domain with values on its boundary. The numerical scheme is derived in a straightforward way from the problem modeled. It thus provides a physical explanation of each solving step in the solution. We apply the scheme to various applications: image reconstruction from the Laplacian, optical flow computation, denoising by graylevel and multispectral diffusion and inpainting which are all modeled with the heat transfer equation.