Optimisation stochastique dans le cadre de la gestion de portefeuilles

Abstract

Le présent document propose, aussi bien en contexte multipériodique qu'en temps continu, une solution fermée au problème sans contrainte de moyenne-variance ("mean-variance") lorsque le portefeuille de l'investisseur est constitué d'une seule action et d'une seule obligation et que des conditions plutôt générales sont imposées à ces titres. Dans un premier temps, nous rappelons les principaux résultats associés au problème de moyenne-variance original et nous illustrons que ces résultats sont inadéquats lorsqu'il s'agit de la gestion à long terme d'un portefeuille (par exemple la, gestion des régimes de pension). Par la suite, à l'aide de propriétés de conditionnement probabiliste, nous construisons une solution explicite au problème multipériodique et nous obtenons en prime un modèle d'évaluation des actifs financiers dit MEDAF ("capital asset pricing model (CAPM)") multipériodique généralisé. Nous développons également (les exemples de modélisation des actifs qui réduisent le nombre de paramètres à estimer pour la solution optimale tout en augmentant l'efficacité des calculs en temps réel. Enfin, suivant deux approches distinctes, soit l'approche martingale et l'approche par contrôle stochastique, nous établissons une solution au problème de moyenne-variance en temps continu. En nous inspirant des modèles multipériodiques, nous proposons une modélisation générale des actifs qui inclut notamment le célèbre modèle de Black-Scholes.