Inégalités de Hardy sur des domaines non bornés

Abstract

Dans le chapitre premier du présent ouvrage, il sera fait un rappel succinct des principales définitions et propriétés des espaces de Sobolev. Nous en profiterons également, après de brèves digressions historiques, pour exposer la théorie classique concernant les inégalités de Hardy. Nous terminerons par un court rappel des notions concernant les mesures finies et illustrerons le rôle qu'elle seront amenées à jouer subséquemment dans la suite de notre travail. Nous aborderons dans le second chapitre, le développement de lemmes de décomposition pour des domaines à frontière non vide. Contrairement à l'approche utilisée jusqu'alors, nous avons pu mettre en évidence et quantifier, par l'utilisation de mesure prise dans M([oméga]) et non dans M(R[indice supérieur N]) , la concentration à la frontière de la masse d'une suite de fonctions. Puis à l'aide d'un procédé, connu sous le nom de diagonale de Cantor, nous avons pu établir un lemme de décomposition similaire pour des domaines cylindriques.Dans le troisième chapitre, ont été rassemblés les principaux résultats découlant en grande partie de l'application, quelquefois indirecte, des lemmes de décompositions précédemment cités. C'est également dans ce chapitre que nous avons pu montrer la validité d'inégalités de type Hardy-Sobolev sur des domaines non bornés.