Systèmes de diffusion-réaction avec conditions Dirichlet-périodiques

Abstract

La présente thèse étudie l'existence et le calcul de solutions deux fois dérivables dans L² de systèmes de diffusion-réaction avec conditions Dirichlet-périodiques. La méthode utilisée pour résoudre le problème consiste à ajouter une nouvelle inconnue et un problème adjoint au problème original. La partie linéaire du système est alors auto-adjointe et la partie non-linéaire est un potentiel. Ensuite, on associe au problème augmenté une fonctionnelle φ, définie sur un espace de Sobolev adéquat, dont les points critiques seront les solutions du système de diffusion-réaction augmenté. Pour montrer l'existence et calculer les points critiques de la fonctionnelle φ, on utilise une base Hilbertienne bien choisie pour l'espace de Hilbert sur lequel la fonctionnelle φ est définie; on montre que la restriction de φ au sous-espace engendré par un sous ensemble fini de la base possède toujours au moins un point critique; on montre finalement que les points critiques des restrictions en dimension finie de φ possèdent des points d'accumulation (selon une certaine topologie) et que ces points d'accumulation sont des points critiques de la fonctionnelle non restreinte.