Topologie digitale dans un espace localement fini

Abstract

Dans ce mémoire, nous présentons d'abord une introduction à la théorie classique de la topologie digitale en utilisant une approche de"graphe d'adjacence". Les concepts de cette théorie sont examinés en détail et ensuite, nous discutons des désavantages inhérents à cette approche, dus essentiellement au manque de rigueur axiomatique dans son élaboration. Par la suite, nous étudions une nouvelle approche à la théorie de topologie digitale telle que développée par V. Kovalevsky. Cette théorie, basée sur une approche axiomatique, permet de contourner la plupart des problèmes rencontrés dans la théorie classique. Elle présente des axiomes pour bien définir une topologie digitale. Après avoir présenté les axiomes, nous construisons un contre exemple qui démontre une inconsistance dans l'approche de Kovalevsky. Afin de pallier à cette difficulté, un nouvel axiome est rajouté à cet effet. Au lieu de se consacrer à l'étude des complexes cellulaires abstraits, nous faisons appel à la théorie des CW-complexes, telle que développée par J.H.C. Whitehead, et aux complexes cubiques, tels que formalisés par T. Kaczynski et al. pour établir des liens entre la toplogie digitale axiomatique et la topologie algébrique dont le formalisme puissant permet d'élargir les champs d'application de la topologie digitale. Finalement des exemples concrets sont donnés pour démontrer l'utilité de cette théorie pour l'analyse d'images digitales.