Déterminant de Cartan d'algèbres de Nakayama

Abstract

La matrice de Cartan d’une algèbre artinienne constitue un invariant fournissant de l’information sur le nombre de morphismes entre ses modules projectifs indécomposables. Pour une algèbre de dimension globale finie, il a été démontré en 1954 par Eilenberg (voir [8]) que son déterminant vaut + 1 ou —1. Or, aucune algèbre de dimension globale finie de déterminant de Cartan -1 n’est connue à ce jour, et les classes d’algèbres pour lesquelles ce déterminant vaut + 1 ne cessent de s’accumuler depuis Eilenberg. Ainsi, l’affirmation selon laquelle toutes les algèbres artiniennes de dimension globale finie sont de déterminant de Cartan + 1 est connue sous le nom de conjecture du déterminant de Cartan. Les techniques utilisées pour s’y attaquer jusqu’à aujourd’hui étant très variées, nous donnons dans ce mémoire un aperçu de ces tentatives, en plus de proposer une nouvelle approche très simple, à l’aide de laquelle nous redémontrons la conjecture pour une classe restreinte d’algèbres de Nakayama. Nous généralisons ensuite ce résultat à une sous-classe des algèbres sérielles à gauche ou à droite.