Algèbres articulées, équivalence stable et connexité simple

Abstract

Le groupe fondamental est une propriété importante d'une présentation d'une algèbre à cause de ses nombreuses applications: il permet de calculer le revêtement universel d'une algèbre, lequel peut nous aider à connaître la catégorie de modules de cette algèbre. Il est cependant généralement complexe à calculer et donc il est souhaitable (voire nécessaire) de simplifier son calcul. Nous étudions une classe particulière d'algèbres, les algèbres articulées. Ce mémoire présente certains énoncés permettant de déterminer si le groupe fondamental d'algèbres de cette classe est trivial en fonction du nombre de points d'articulation et du groupe fondamental des parties articulées. Nous commencerons par caractériser les algèbres articulées à l'aide de leur carquois d'Auslander-Reiten. Nous montrons ensuite que si une algèbre A est l'articulation de deux autres algèbres B et C, alors A et B x C sont stablement équivalentes. Nous considérerons tout au long de ce mémoire certaines connaissances comme étant acquises par le lecteur, essentiellement contenues dans les cours suivis par les étudiants de deuxième cycle du groupe de théorie des représentations des algèbres à l'Université de Sherbrooke.