Hyperbolicité et ensembles invariants isolés

Abstract

Certains processus dynamiques en physique, chimie et biologie peuvent être décrits par des équations différentielles dépendant des paramètres qui ne peuvent être déterminés avec un degré arbitraire de précision. Il est important donc, pour l'étude de ces systèmes, de déterminer des structures qui restent stables pour des petites perturbations. Plusieurs de ces structures peuvent être décrites en termes de la théorie de l'indice de Conley. Ce mémoire consiste en une présentation des méthodes utilisées dans la théorie des systèmes dynamiques pour prouver la stabilité des voisinages isolants, des blocs isolants et des paires pour l'indice, des structures indispensables pour le calcul de l'indice de Conley, qui lui même est non seulement porteur de l'information sur la stabilité, mais permet aussi dans certains cas, de prouver l'existence de certaines solutions remarquables des équations différentielles. Il s'agit principalement d'une analyse comparative de deux méthodes: une première méthode fondée sur les blocs isolants (voisinages isolants spéciaux dont les frontières peuvent être"tangentes" au flot seulement dans des régions spéciales) et les fonctions de Lyapunov (les fonctions à valeurs réelles qui sont définies dans un voisinage d'un ensemble compact invariant et dont les dérivées première et seconde en direction du champ vectoriel ont des propriétés spéciales); la deuxième méthode est basée sur les flots multivoques, totalement différente de l'autre, et représente en fait une alternative à la première.