On prediction and estimation problems for some multivariate distributions

Abstract

Abstract : The thesis addresses three distinct decision problems concerning prediction and estimation for multivariate distributions. (1) Predictive density estimators with integrated $L_1$ loss for spherically symmetric distributions: we extend the scale expansion improvements under integrated $L_1$ loss, derived for the univariate case by Kubokawa et al. (2017), to multivariate scenarios. We also provide scale expansion improvements on plug-in densities of the form $q(\|y-\hat{\theta}(X)\|^2)$ for cases where $\theta$ is restricted to a compact parameter space, even when $\hat{\theta}(X)$ is adapted to the parameter space. The findings also encompass a broader class of loss functions of the form $\gamma(L_1(\theta,\hat{q}))$ with strictly increasing $\gamma$. (2) Bayesian inference and prediction for mean-mixtures of normal distributions: we explore the problem of predictive density estimation for mean-mixtures of multivariate normal (MMN) distributions under Kullback-Leibler loss. We identify classes of plug-in type predictive densities and of Bayes predictive densities which are minimax and dominate the benchmark minimum equivariant estimator (MRE) for the case when the dimension of the location parameter is greater than or equal to four. Additionally, we present novel representations for Bayesian posterior distributions and predictive densities for MMN models, filling a gap in the existing literature. We also investigate implications for certain type of parametric restrictions on $\theta$, and illustrate and comment the findings based on numerical evaluations. (3) Construction of proper Bayes minimax multiple shrinkage estimators: we address the canonical problem of estimating the mean of multivariate normal distributions under quadratic loss, and propose a feasible approach for constructing minimax pseudo Bayes multiple shrinkage estimators. This approach employs particular spherically symmetric priors, leading to scalable marginal densities, which satisfy Stein's minimaxity condition of superharmonicity. Furthermore, we demonstrate how the general framework allows for the construction of proper priors resulting in minimax multiple shrinkage estimators. Notably, we reveal the effectiveness of adjusted Strawderman-type priors in yielding proper Bayes minimax multiple shrinkage estimators.

La thèse aborde trois problèmes de décision distincts concernant la prédiction et l’estimation des distributions multivariées. 1) Le premier problème aborde l’estimation d’une densité prédictive avec une perte intégrée L1 pour des distributions à symétrie sphérique. Nous étendons les améliorations par expansion d’échelle obtenues pour le cas univarié par Kubokawa et coll. [58] aux scénarios multivariés. Nous proposons également des améliorations de densités plug-in par expansion d’échelle lorsque θ est restreint à un espace paramétrique compact, même lorsque la densité est adaptée à la contrainte. Les résultats englobent une classe plus large de fonctions de perte de la forme γ(L1) avec γ strictement croissante. 2) Le second problème porte sur l’inférence bayésienne et la prédiction pour des mélanges de moyennes de distributions normales (MMN). Nous explorons le problème de l’estimation d’une densité prédictive pour ces modèles MMN sous la perte Kullback-Leibler et identiőons des classes de densités prédictives de type à plug-in ou bayésiennes qui sont minimax dominant la meilleure densité équivariante (MDE) pour les cas où la dimension du paramètre de position est supérieure ou égale à quatre. Nous présentons de nouvelles représentations pour les distributions a posteriori et les densités prédictives bayésiennes dans des modèles MMN, comblant une lacune dans la littérature existante. Enőn, nous déduisons des résultats de dominance pour certains types de restrictions paramétriques et illustrons l’ensemble des résultats par des simulations numériques. 3) La troisième partie de ce travail se rapporte à la construction d’estimateurs de rétrécissement multiple bayésiens et minimax. Abordant le problème canonique de l’estimation de la moyenne d’une loi normale multivariée sous la perte quadratique, nous proposons une approche basée sur des densités a priori à symétrie sphérique menant à des densités marginales adaptatives et satisfaisant la condition de minimaxité de Stein de superharmonicité. De plus, nous démontrons comment un cadre général permet la construction de lois a priori conduisant à des estimateurs minimax de rétrécissement multiple. Notamment, nous démontrons que des lois a priori de type Strawderman ajustées sont incluses dans ce cadre général.