Amplituèdre et les grassmanniennes

Abstract

Dans ce mémoire, nous élaborons un lien entre la variété de Grassmann et l'amplituèdre un outil inventé par des physiciens pour faciliter le calcul des interactions entre certaines particules élémentaires. Le but est d'en faire une approche d'un point de vue mathématiques et physique. Le mémoire débute avec quelques notions préalables afin de bien comprendre le sujet abordé. Parmi ces notions, nous avons inclus des principes de base, l'espace projectif, l'algèbre extérieure dont le produit extérieur et le produit de convolution, ainsi que l'identité de Vandermonde. Par la suite, nous définissions la grassmannienne en tant que variété et variété algébrique. L'application de Plücker étant importante pour la définition de variété algébrique de la grassmannienne, nous l'avons incluse et nous l'avons élaborée avec les coordonnées de Plücker et les relations de Plücker. La grassmannienne positive est utilisée dans la définition de l'amplituèdre, c'est pourquoi que nous avons fait un lien avec la positivité totale classique des matrices afin de bien comprendre la définition de grassmannienne positive. Nous encodons une interaction physique entre n particules à l'aide de graphes plabiques. Nous associons des permutations à ces graphes et nous faisons un lien entre les graphes et les grassmanniennes. Nous définissons le volume dans des espaces projectifs. Pour le calcul des amplitudes nous avons inclus une petite introduction à la théorie des champs quantiques ainsi qu'une manière d'obtenir tous les graphes pour une interaction des particules. Nous définissons l'amplituèdre en arbre à l'aide de la grassmannienne. Le mémoire se termine avec deux exemples qui permettent de mettre en pratique ce que nous avons élaboré tout au long de celui-ci.