Bayes estimators and credible sets for ordered normal means with an uncertain constraint

Abstract

Abstract: This work concerns parameter estimation for a bivariate normal model where the difference of the two normal means is bounded. A hierarchical prior is considered which allows uncertainty to be introduced in the parametric constraint. We begin by studying the case of a uniform prior on $\theta_1-\theta_2 \geq m$ where $m \sim N(0,\sigma_m^2)$. We show that the Bayes estimator of $\theta_1$ dominates $X_1$ under squared error loss, which extends the known result for $\sigma_m^2=0$; that is, without uncertainty in the constraint. An ad hoc credible set for $\theta_1$ is then presented along with an analysis of its frequentist properties including coverage probability. Finally, the last chapter considers two modifications to the previous model: a parametric restriction of the form $|\theta_1-\theta_2| \leq m$ and the case of unknown variances. [Symboles non conformes]

Ce mémoire porte sur l'estimation paramétrique d'un modèle normal bivarié o\`u la différence des deux moyennes normales est bornée. Une loi a priori hiérarchique est considérée, ce qui permet d'introduire de l'incertitude dans la restriction paramétrique. En premier lieu, le cas d'une loi a priori uniforme sur $\theta_1-\theta_2 \geq m$ est étudié o\`u $m \sim N(0,\sigma_m^2)$. On montre que l'estimateur de Bayes de $\theta_1$ domine $X_1$ en termes de perte quadratique lorsque $\theta_1-\theta_2 \geq 0$. Ceci étend le résultat connu pour le cas $\sigma_m^2=0$; c'est-\`a-dire, en absence d'incertitude dans la contrainte. On présente ensuite un intervalle de crédibilité ad hoc pour $\theta_1$ ainsi qu'une analyse de ses propriétés fréquentistes dont la probabilité de recouvrement. Finalement, le dernier chapitre considère deux modifications au modèle précédent: une restriction paramétrique de la forme $|\theta_1-\theta_2| \leq m$ et le cas de variances inconnues. [Symboles non conformes]