Les structures exactes

Abstract

Dans cette thèse, j'ai choisi trois de mes articles étudiant les structures exactes et partiellement exactes. J'ai étudié plusieurs sujets relatifs à la structure exacte d'une catégorie exacte. De plus, j'ai étudié comment certaines propriétés changent en réduisant ou en élargissant la structure exacte considérée. On considère l'ensemble Ex(A) partiellement ordonné par l'inclusion, formé par toutes les structures exactes données sur une certaine catégorie additive fixe et on prouve qu'elles forment un treillis borné et complet. En parallèle, on étudie le treillis des sous-bifoncteurs additifs fermés du foncteur Ext1 et on construit un isomorphisme de treillis entre ces deux derniers. On étudie aussi le treillis de sous-bifoncteurs additifs en général et on introduit les structures partiellement exactes et partiellement extriangulées, on étudie leurs treillis et on résume les liens entre tous ces treillis. On considère les sous-objets admissibles relativement à une structure exacte et on propose des nouvelles notions générales d'intersection et de sommes définies pour toute catégorie exacte. En utilisant ces notions on considère les catégories d'Artin-Wedderburn exactes et on généralise le théorème de Jordan-Hölder. Dans le cas d'une catégorie de modules sur une algèbre de Nakayama, les catégories d'artin-wedderburn exactes sont exactement les catégories exactes de Jordan-Hölder. Sur ces catégories, on définit la longueur de Jordan-Hölder. Puis on la généralise en définissant la fonction de longueur pour toute catégorie exacte et, comme application, on généralise la mesure de Gabriel-Roiter pour n'importe quelle catégorie exacte. L'étude des sous-objets et des morphismes admissibles d'une catégorie exacte mène aussi à de nouvelles caractérisations des catégories quasi-abéliennes et abéliennes.