Les prépotentiels de variétés de Frobenius, la fonction τ isomonodromique et l'espace des courbes hyperelliptiques

Abstract

Cette thèse comporte trois sujets indépendants appartenant à la physique mathématique: les variétés de Frobenius, la fonction tau de Schlesinger et la récursion topologique. Les variétés de Frobenius, introduites par Dubrovin expriment la géométrie d'un système d'équations différentielles dit système WDVV (Witten-Dijkgraaf-Verlinde-Verlinde). La construction de Dubrovin donne une façon de calculer une solution de ce système correspondant à la variété de Frobenius construite sur les espaces de Hurwitz. Dans cette thèse nous avons élaboré des exemples de variétés de Frobenius issues de la construction de Dubrovin en produisant de nouvelles solutions explicites du système WDVV. Notre deuxième sujet se trouve aussi dans le domaine des systèmes intégrables. Considérons une équation différentielle matricielle linéaire ayant un nombre fini de singularités dans le plan complexe. Une solution à un tel système n'est pas univoque, son prolongement analytique autour des singularités se transforme par multiplication par des facteurs matriciels appelés monodromies de la solution. Le système de Schlesinger est un système d'équations aux dérivées partielles qui donne la dépendance des coefficients du système linéaire sur les positions des singularités afin que la monodromie du système linéaire original soit préservée. Un objet associé à chaque solution du système de Schlesinger est la fonction tau. Dans cette thèse, nous considérons les solutions au système de Schlesinger trouvées par Kitaev-Korotkin et Dragovic-Shramchenko et nous formulons la conjecture que la fonction tau associée à la solution de Dragovic-Shramchenko coïncide avec la fonction tau de Kitaev-Korotkin. Le troisième sujet consiste en une application de la récursion topologique d'Eynard-Orantin. La récursion est utilisée pour générer des quantités qui sont d'importance significative en physique et en mathématique pour plusieurs choix de courbes algébriques. Nous nous sommes concentrés sur la courbe y=x²-c² car sa quantisation correspond à l'équation de Schrödinger pour l'oscillateur harmonique. Nous avons démontré que la récursion topologique appliquée à ce système génère le dévelopement WKB de la fonction d'onde de l'oscillateur harmonique quantique.