Équicontinuité dans les espaces pseudotopologiques

Abstract

Ce travail porte sur le concept de "pseudotopologie" qui s'avère être une des plus intéressantes généralisations modernes de la notion classique de topologie; en particulier, nous concentrerons principalement nos efforts sur l'étude de divers théorèmes d'Ascoli dans le cadre d'espaces de fonctions dont l'ensemble de définition et l'ensemble des valeurs sont des espaces pseudotopologiques. L'introduction nous fournira un bref historique des généralisations de la convergence topologique et la source de motivation derrière de telles généralisations. Afin de bien fonder la notion de pseudotopologie, le second chapitre présente la notion de filtre de même que les principales propriétés s'y rattachant. Le chapitre suivant est entièrement consacré à la pseudotopologie et aux notions associées notamment l'adhérence, les voisinages, les axiomes de séparation, la continuité et la compacité. En particulier, la continuité va nous permettre de définir la pseudotopologie produit. Le quatrième chapitre concerne la pseudo-unifomité ainsi que les notions rattachées tel filtres de Cauchy, continuité uniforme et de complétude. Cette notion généralise la notion usuelle d'uniformité de Bourbaki. Dans le dernier chapitre nous aborderons, dans le contexte d'espaces fonctionnels généralisés, la convergence simple de même que la convergence continue. Les notions d'"even continuity" et d'équicontinuité suiveront. Enfin il nous sera possible, à l'aide de l'application exponentielle, d'établir la validité de plusieurs critères de compacité du type Ascoli.