Quelques propriétés des opérateurs doublement stochastiques

Abstract

Depuis leur introduction dans la littérature, plusieurs travaux ont traité des propriétés des matrices doublement stochastiques, mais indiscutablement ce sont deux théorèmes fondamentaux, prouvés par HARDY LITTLEWOOD et POLYA en 1929 et par G.BIRKHOFF en 1946, qui ont dominé ce champ d'étude. D'une façon générale le présent travail consiste à présenter ces deux théorèmes pour le cas discret et pour le cas continu. Après avoir rappelé quelques résultats sur les treillis, nous allons présenter certaines notions sur les classes de matrices positives, en particulier les deux théorèmes fondamentaux pour le cas fini. Cette étude est ensuite complétée par la présentation de ces deux théorèmes pour des classes de matrices positives infinies. En dernier lieu, nous avons achevé ce travail en nous attardant sur les propriétés des opérateurs doublement stochastiques et plus précisément sur leur approximation et sur l'étude de leurs points extrêmes ainsi que sur la généralisation du théorème de HARDY LITTLEWOOD et POLYA dans ce contexte.