Contribution à la résolution des écoulements visqueux incompressibles par la méthode des éléments finis

Abstract

Le domaine des modèles mathématiques a connu une évolution très rapide avec l'arrivée des premiers ordinateurs. Les modèles se sont de plus en plus sophistiqués pour analyser des problèmes de plus en plus complexes. Mais ces modèles seront restreints (pour un ordinateur donné) par l'espace­mémoire et le temps de calcul disponible. Ces réalités nous forcent à perfectionner les modèles mathématiques si nous désirons qu'ils soient disponibles à un plus grand nombre d'utilisateurs. Ce travail est fait autour de deux grands objectifs que nous nous sommes fixés. Le premier est de vérifier en 2-D la précision d'une méthode de linéarisation des variables avec une méthode plus conventionnelle des équations de Navier-Stokes. La comparaison sera faite avec la méthode de Taylor-Hugues qui est très utilisée qui a été vérifiée mainte fois et utilise les variables primitives. Le deuxième objectif consiste à trouver une procédure de calcul permettant de résoudre des écoulements à 3-D en utilisant des familles de plans (2-D) perpendiculaires entre elles au lieu d'utiliser des éléments à 3-D. Ces plans sont orientés dans le sens de l'écoulement contrairement à d'autres techniques qui prennent des plans perpendiculaires à la direction principale de l'écoulement. Cette approche des problèmes à 3-D a pour but de diminuer le temps de calcul et l'espace­-mémoire alloué par l'ordinateur tout en conservant rapidité et précision de calcul. Mais cette méthode s'applique seulement aux cas où on observe une direction principale à l'écoulement, exemples: coudes, pompes etc. En éléments finis nous devons résoudre simultanément un grand nombre d'équations et ceci implique que plus le nombre d'équations est élevé plus l'espace­mémoire et le temps de calcul seront importants. Il existe déjà des méthodes pour fractionner des problèmes d'éléments finis en faisant du "VLSOR" (vertical line system over relaxation) [12] mais elles sont d'utilisations restreintes puisque pour certaine configuration d'écoulement elles ne fonctionnent pas. Le premier chapitre de ce mémoire fait un rappel des équations de Navier-Stokes (N-S) en utilisant les variables primitives ainsi que les variables dérivées: fonction de courant et vorticité. Le deuxième chapitre traite des différents types d'élément que l'on retrouve en élément fini avec leurs avantages et inconvénients. Ce n'est qu'une étude partielle pour permettre de mieux expliquer la théorie se rattachant aux éléments finis. Le troisième chapitre se divise en deux parties. La première consiste à développer la formulation utilisée par TAYLOR & HUGUES [8]. Elle fait partie de la base en éléments finis en ce qui regarde les équations de N-S. La deuxième partie explique en détail la formulation originale développée et qui donne de bons résultats en 2-D. Cette formulation est basée sur les équations avec variables primitives et constitue une adaptation d'une formulation qui fut développée par M. HABASHI [9]. Le quatrième chapitre mène au coeur du sujet avec les écoulements en 3-D. Nous y discuterons sur les plans qui définissent la géométrie, sur l'utilisation des différences finies pour le calcul de certains termes et des formulations que nous avons développés à partir des deux approches différentes que nous avons expliqués clans le chapitre 3 sur les écoulements en 2-D. Le cinquième chapitre montre quelques résultats obtenus en 2-D et en 3-D pour divers problèmes d'écoulement. Une comparaison est faite avec les résultats obtenus par notre formulation, celle de Taylor et des résultats expérimentaux. Les exemples étudiés sont simples mais classiques et vont mettre en valeur les avantages et les inconvénients des procédures utilisées. En conclusion, nous parlerons des avantages et des inconvénients de ces méthodes, des difficultés rencontrées et des points qui restent à améliorer pour en faire un outil fiable et puissant pour la mécanique des fluides.