Simulations numériques d'écoulements transsoniques par la méthode des éléments finis

Abstract

L'étude des écoulements transsoniques non visqueux ne s'est avérée possible que récemment, alors que les écoulements subsoniques et supersoniques non visqueux l'étaient depuis fort longtemps. Le besoin de résoudre ce type d'écoulement est survenu avec l'apparition d'avions qui doivent voler de plus en plus dans ce domaine afin d'avoir la plus grande efficacité possible. Les premières solutions obtenues furent réalisées par la méthode des différences finies, avec l'addition d'une viscosité artificielle, puis d'une compressibilité artificielle. Cette dernière a permis d'utiliser la méthode des éléments finis pour l'étude de ce type d'écoulement, avec les avantages qu'elle représente pour l'application des conditions aux frontières et pour la simulation autour de corps complexes. Jusqu'à présent, on s'est contenté d'appliquer la compressibilité artificielle de la même façon qu'en différences finies, en effectuant une pondération sur les densités élémentaires, au lieu des densités nodales, comme en différences finies. Les densités étaient évaluées au centre de l'élément, et cette valeur était associée ensuite à tout l'élément. La pondération était appliquée sur les éléments amont à l'écoulement local, ce qui implique une procédure de recherche pour localiser les éléments amont. Cette façon de procéder a permis d'obtenir des résultats comparables à ceux obtenus par les différences finies. Cependant, en procédant ainsi, on n'a pas mis à profit le concept d'interpolation élémentaire au niveau de la densité. On a donc fait dans ce travail l'hypothèse fondamentale que la densité variait de façon isoparamétrique à l'intérieur de chaque élément. Il s'agissait alors de trouver les coordonnées élémentaires où évaluer la densité qui assureraient une dissipation équivalente à celle fournie en supposant la densité constante au niveau élémentaire. Pour cela, on a d'abord étudié l'écoulement unidimensionnel. Par un développement de TAYLOR de premier ordre, on a pu trouver les coordonnées où évaluer cette densité. On est ensuite passé au niveau bidimensionnel pour généraliser cette méthode. Les résultats obtenus se comparent bien avec ceux antérieurs. L'avantage principal provient du fait qu'on n'a plus besoin de faire une recherche des éléments environnants, ce qui simplifie la procédure.