L'intégrale multiplicative dans les groupes de Lie à dimension finie

Abstract

L'intégrale multiplicative a été définie en 1887 par le mathématicien italien Vito Volterra comme une méthode de résolution des systèmes d'équations différentielles linéaires. Reprise par Ludwig Schlesinger au début du 20e siècle, la théorie de l'intégrale multiplicative n'a cessé d'évoluer à travers les années jusqu'à nos jours. Après avoir rappelé quelques résultats sur les espaces normés et les applications différentiables de Rn dans Rm, nous avons développé quelques notions sur les variétés différentiables réelles de dimension finie afin de bien présenter la théorie des groupes de Lie nécessaire à l'étude de l'intégrale multiplicative pour des fonctions définies sur un intervalle de la droite et à valeurs dans une algèbre de Lie associée à un groupe de Lie. Cette étude est complétée ensuite par la présentation d'une théorie de la dérivée logarithmique pour des fonctions définies sur un intervalle de la droite et à valeurs dans un groupe de Lie et ses connexions avec l'intégrale multiplicative. En dernier lieu, nous avons complété ce travail en nous attardant sur la notion de vecteur vitesse pour une fonction définie sur un intervalle de la droite et à valeurs dans un groupe de Lie et sur le problème de Cauchy d'une fonction définie sur un segment de la droite et à valeurs dans une algèbre de Lie associée à un groupe de Lie. En particulier, nous avons montré que le problème de Cauchy a au plus une solution et que l'intégrale multiplicative en est la solution.