Indice de point fixe pour les fonctions multivoques non compactes et fonctions multivoques différentiables

Abstract

Tout d'abord, cette thèse a pour but de définir un indice de point fixe pour les composées de fonctions multivoques acycliques qui sont compactifiantes et définies dans une partie ouverte d'une réunion localement finie de fermés convexes d'un espace de Banach. Ce résultat est une extension de celui de Siegberg et Skordev pour de telles fonctions définies dans des parties ouvertes de polyèdres compacts. Un autre but de ce travail est de donner une définition d'une fonction multivoque différentiable; ce concept a déjà été étudié sous différents aspects. Le chapitre 2 vise essentiellement à rappeler les notions essentielles à la compréhension de cette thèse: l'homologie de Cech à support compact, le nombre de Lefschetz généralisé, les propriétés de fonctions multivoques, la notion de mesure de non-compacité ainsi que celle de métrique de Hausdorff. Au chapitre 3, nous définissons notre indice de point fixe et nous nous attardons à montrer que cet indice est bien défini et qu'il possède les propriétés habituelles de l'indice. Nous y donnons aussi un théorème de Lefschetz. Enfin au chapitre 4, nous introduisons une nouvelle définition de fonction multivoque différentiable et continûment différentiable. Nous obtenons ensuite plusieurs résultats importants qui sont bien connus dans le contexte univoque, dont entre autres un théorème de la moyenne et un théorème du reste. Finalement, nous montrons que l'indice présenté au chapitre 2 est défini pour des fonctions ayant une décomposition acyclique, qui sont continûment différentiables et à itérées condensantes, ainsi que pour toute sélection de ces fonctions. Certains résultats que nous avons obtenus ont été soumis pour fin de publication.