Fondements et applications de la théorie des distributions

Abstract

La théorie des distributions, due au mathématicien français Laurent Schwartz a été un moteur important de la théorie des espaces vectoriels topologiques; de plus, il n'est pas exagéré de dire que la théorie des distributions a révolutionné la théorie des équations aux dérivées partielles. Dans ce travail, nous définirons et analyserons la notion de distribution dans le cadre théorique proposé par Schwartz. Il existe d'autres façons d'introduire les distributions, signalons celle de Mikusinski. qui définit les distributions comme étant des limites de suites de fonctions appropriées. Cette façon, certes plus intuitive, de définir les distributions recelle cependant l’inconvénient majeur de ne pas permettre l'application des distributions à la théorie des équations aux dérivées partielles. Après avoir présenté un bref historique de la théorie des distributions, nous prendrons soin de définir en détails les fondements de la théorie. Cette analyse nous amènera à considérer des espaces vectoriels topologiques localement convexes mais non métrisables; nous verrons que les distributions sont des fonctionnelles linéaires continues sur ces espaces. Plus loin, nous présenterons les diverses techniques de calcul symbolique utilisées par le physicien Dirac avant que Schwartz en fournisse les justifications mathématiques. Nous complèterons ce travail en présentant des applications de la théorie des distributions aux équations aux dérivées partielles linéaires à coefficients constants et aux équations différentielles elliptiques. Dans le premier cas nous démontrerons un théorème d'existence et d'unicité de solution, tandis que dans le deuxième nous démontrerons un théorème de régularité des solutions.