Quelques aspects catégoriques de la géométrie combinatoire

Abstract

Dans un premier chapitre, nous reprenons proprement la construction de catégories connues et nous échafaudons des liens entre les catégories combinatoires. Ainsi, nous montrons clairement le lien d'équivalence entre les géométries et les treillis géométriques. Dans le deuxième chapitre, nous étudions la structure interne de chaque catégorie combinatoire exhibée. De plus, nous généralisons la notion de contraction, et nous relions deux notions de quotients. Au troisième chapitre, nous nous intéressons à la version "faible" des deux premiers chapitres. Ainsi, nous trouvons que les géométries "faibles" sont encore équivalentes aux treillis "faibles", et que la structure interne de ces dernières catégories se présente de la même façon qu'avant, les modifications à y apporter étant plus d'ordre technique qu'autre chose. Finalement, dans un dernier chapitre, nous traitons de cohomologie locale et de deux homologies d'une géométrie. En effet, nous examinons premièrement un article de W. GRAVES sur la cohomologie, et nous établissons un lien d'équivalence entre la catégorie des complexes simpliciaux et des fonctions simpliciales injectives et celle des géométries et des contractions. De plus, comme ROTA a déjà établi une autre théorie de l'homologie, nous l'examinons et essayons de la relier à la nôtre. Dans le but d'établir ces liens, nous étudions les différents groupes d'homologie sur des exemples particuliers.