Traitement optimum des signaux par la transformée de Walsh-Hadamard

Abstract

On s'intéresse, dans le présent travail, au problème de traitement des signaux discrets et finis par la transformée de Walsh. Le premier chapitre a pour but de développer certains outils mathématiques nécessaires à l'application des fonctions de Walsh au domaine des télécommunications; il traite de la représentation et de la caractérisation des signaux. En partant des définitions toutes récentes des fonctions discrètes et fi­ nies de Walsh et de Hadamard [9, 10] on y étudie les propriétés fondamentales des deux classes de signaux types en télécommunications: ce sont les signaux .à bande limitée et les signaux ·à bande passante dans les domaines de "fréquence généralisée" de Walsh et de Hadamard. Dans ces deux cas particuliers, les échantillons d'un signal, choisis de manière appropriée, représentent ce signal de façon exacte. Dans le domaine de Walsh, ces classes de signaux permettent une parfaite concentration d'énergie même s'ils sont de durée limitée. Dans le domaine de Hadamard, par contre, l'énergie n'est pas un paramètre adéquat pour la caractérisation des signaux. La nature discrète et finie des fonctions de Walsh permet, de plus, d'envisager une certaine adaptation de ces fonctions à l'analyse des processus aléatoires discrets binaires. Le deuxième chapitre discute le problème du filtrage et de l'interpolation optimum d'une chaîne de Markov en utilisant la transformée de Hadamard. Le critère d'optimalisation est la distance de Hamming. De plus, le concept du filtrage est généralisé au cas de l'interpolation à retard fixe en définissant certaines variables d'états secondaires. Lorsqu'appliquée aux codes à convolution, cette technique donne lieu à une structure modulaire et extensible dans le décodeur. La performance de ce type de décodeur qui n'utilise que des multiplications à multiplicandes fixes au moins pour un bon nombre de codes est comparable à l'algorithme de Viterbi.