Inégalité de Riemann-Roch: application au calcul du genre des corps de fonctions algébriques d'une variable

Abstract

On définit le genre d'un corps K de fonctions algébriques d'une variable sur un corps k algébriquement clos en posant : g = 1 - inf (£(X) - d(x)) X ou X est un diviseur de K sur k, t(x) représente la dimension sur k de l'espace vectoriel des diviseurs principaux x de K* tels que x > - X, tandis que d(X) est le degré du diviseur X. Grâce aux transformations quadratique on peut construire une courbe plane projective C ne possédant que des points multiples ordinaires, et telle que C admette K comme corps des fonctions rationnelles. L'utilisation du théorème de Riemann et de la relation: PeC (ou mp est la multiplicité de C en P, n le degré de C) permet alors de démontrer la formule suivante : g (n-l)(n-2) _ V "ip(mp-l) 2 PeC 2 L'idée principale de la preuve est de montrer, préalablement à l'utilisation du théorème de Riemann et de la formule (l), qu'il existe une fonction T de l'ensemble des valuations de K sur k dans l'ensemble des points de C, possédant les propriétés suivantes: a) Si P est un point simple de C il existe une unique valuation v de K sur k telle que (i) T(v) = P et (ii) l'anneau de valuation associe à V est précisément l'anneau local du point P. b) Si P est un point multiple ordinaire de multiplicité m , il existe P mp valuations v de K sur k avec (i) T(v) = P et (ii) chacun des mp anneaux de valuations correspondant domine l'anneau local de P. Nous donnerons une preuve personnelle de cette proposition. Comme le genre est défini à partir du groupe abélien libre des diviseurs de K sur k qui s'identifie au groupe abélien libre des valuations de K sur k, la fonction T nous permettra d'interpréter les valuations de K en termes de points de C, et d'établir la formule (2) liant g à la multiplicité des points de C. Nous terminons avec quelques exemples de calculs de genre.