Partition des groupes et fondements de la géométrie

Abstract

L'étude des groupes admettant une partition a intéressé certains mathématiciens, qui nous ont laissé quelques textes sur le sujet. Nous tenterons cependant dans le présent texte d'aborder l'étude de ces groupes dans une optique différente de la leur. La seule partie du présent texte qui ne traitera pas exclusivement des groupes abéliens sera celle ou nous étudierons le treillis des partitions d'un groupe. Dans la suite du texte nous nous proposons d'étudier les partitions d'un groupe abélien par le biais de l'anneau des endomorphismes d'un tel groupe. Nous considérerons une partition d'un groupe abélien et nous étudierons les propriétés du sous-anneau des endomorphismes respectant la partition. Une telle façon de procéder nous permettra non seulement de déterminer certaines propriétés des groupes abéliens admettant une partition, mais aussi de simplifier et dans certains cas de généraliser des résultats déjà connus. Nous nous intéresserons également â la représentation géométrique des groupes abéliens admettant une partition, ce qui nous permettra de voir qu'un groupe abélien admettant une partition peut toujours être considéré comme un groupe de translations d'un espace affine généralisé, et donc qu'il peut être utilisé comme système de coordonnées d'un tel espace.