Théorèmes ergodiques et applications à la théorie des nombres

Abstract

Dans sa version la plus commune, la théorie ergodique traite de la convergence au sens de Cesàro des itérées d'un opérateur linéaire du type Uf=foT, où T est une transformation d'un espace mesuré et f une fonctionnelle intégrable sur cet espace. Si la mesure est o-finie et si T préserve la mesure des ensembles mesurables, on prouve que la suite {unf(x)} converge, au sens de Cesàro, pour presque tous les points de l'espace. Dans les espaces de mesure finie, munis d'une transformation ergodique préservant la mesure, le point de convergence de cette suite est le même pour presque tous les points de l'espace. Le cas particulier le plus intéressant est l'intervalle [0,1), muni de la mesure de Lebesgue. Sur cet espace mesuré, le résultat précédent fournit une foule d'applications en théorie des nombres et en analyse fonctionnelle. Pour établir l'ergodicité de certaines transformations, les séries de Fourier simplifient beaucoup les démonstrations originales. Des arguments ensemblistes suffisent le plus souvent pour prouver qu'une transformation préserve la mesure de Lebesgue. Si une transformation ne préserve pas la mesure de Lebesgue, on construit, si possible, une mesure invariante par cette transformation. Par exemple, la théorie métrique des fractions continues utilise avec profit ces différentes méthodes; des résultats fondamentaux deviennent des corollaires triviaux de théorèmes ergodiques.