Sur le théorème de Mordell-Weil

Abstract

Le mémoire porte essentiellement sur une démonstration du théorème de Mordell-Weil dans le cas d'un corps de nombres. Le travail se divise en trois parties. Dans une première partie, nous donnons une preuve du théorème de Mordell-Weil dans un cas particulier, histoire de rendre explicite la preuve dans le cas général. Dans la deuxième partie, nous développons le matériel algébrique et topologique nécessaire pour la preuve du théorème dans le cas général. Enfin, la troisième partie concerne la preuve proprement dite du théorème de Mordell-Weil. Pour rendre plus compréhensible le plan du mémoire, nous allons commenter chacun des chapitres. Dans un premier chapitre, nous définissons une structure de groupe sur l'ensemble des points rationnels d'une cubique non singulière et nous montrons que ce groupe ne dépend pas du point de référence 0. Puis nous développons quelques formules qui sont vraies dans tout corps de caractéristique nulle et qui nous serviront plus tard. Dans le deuxième chapitre, nous faisons d'abord quelques calculs préliminaires et nous donnons ensuite une preuve du théorème de Mordell-Weil dans un cas particulier. Nous développons, dans le troisième chapitre, des notions comme les valuations, les éléments entiers, les anneaux de fractions, les anneaux de Dedekind et nous rappelions des résultats sur les groupes abéliens de type fini, les corps de nombres et les complétés d'un corps pour une valeur absolue ultramétrique. Les résultats les plus importants de ce dernier chapitre sont la caractérisation des anneaux de Dedekind et la compacité des boules fermées dans le complété d'un corps de nombres pour une valeur absolue ultramétrique. Le quatrième chapitre est consacré entièrement à la preuve du théorème de Mordell- Weil qui se divise en trois parties distinctes.