Les anneaux absolument plats et leurs spectres

Abstract

Le problème original qui a donné lieu à la rédaction de ce mémoire est (outre l'obtention d'un parchemin de maître) la caractérisation des espaces topologiques qui sont homéomorphes à des spectres d'anneaux. Nous ne sommes malheureusement pas parvenus à une solution complète du problème, mais seulement à caractériser ceux des espaces séparés qui vérifient cette condition. Dans un premier chapitre, nous avons développé des notions d'algèbre commutative nécessaires pour en arriver à nos fins; anneaux et modules de fractions, modules plats, anneaux absolument plats, faisceaux et espaces annelés. Le chapitre suivant contient le résultat que nous avions en vue. Celui-ci est basé sur un théorème sur les espaces annelés, à la démonstration duquel est consacré presque tout le chapitre, et dont voici l'énoncé: espace annelé dont l'espace sous-jacent est compact et totalement discontinu et dont toutes les fibres du faisceau structural sont des corps est un schéma affine. Enfin le chapitre trois est consacré à une application des résultats du chapitre deux à un théorème de représentation pour les réseaux booléiens: tout réseau booléien est isomorphe à l'ensemble des idempotents d'un anneau absolument plat, ordonné par divisibilité.