Solution périodique et solution anti-périodique de l'équation différentielle d'Abel

Abstract

Soit $T$ une constante positive. Dans le présent travail, nous nous intéressons à l'existence d'une solution $T$-anti-périodique et d'une solution $T$-périodique de l'équation différentielle d'Abel \begin{equation*} \theta^{\prime}=f_0+\sum_{j\in \mathbb N} f_j\theta^j \end{equation*} avec $f_j$, ($j \in \lbrace 0, 1, 2, ...\rbrace$) à variation bornée sur $[0, T]$. Nous allons généraliser cette équation au cas impulsif où $\theta$ et $\theta^{\prime}$ subissent des sauts dépendants de l'état.

Le premier chapitre consiste en un rappel de quelques définitions, notions de bases et résultats fondamentaux de l'analyse réelle et fonctionnelle que nous allons utiliser tout au long des chapitres 2 et 3.

Au deuxième chapitre, on étudie l'existence d'une solution $T$-anti-périodique dans le sens que $\theta(0)= -\theta(T)$. Les conditions que nous imposons nous permettent d'utiliser le théorème du point fixe de Banach. Cette méthode nous donne non seulement l'existence d'une solution, mais aussi un moyen de trouver la solution numériquement ainsi qu'une majoration de la vitesse de convergence uniforme, d'une suite d'itérations de Picard vers la solution. Les résultats obtenus dans ce chapitre sont publiés dans \cite{BelleyGueye17}.

Au troisième chapitre, on étudie l'existence d'une solution T-périodique pour la même équation. On utilise encore le théorème du point fixe de Banach pour garantir l'unicité de la solution. L'unicité est nécessaire pour que la fonction moyenne $M(\mu)$ que nous introduirons plus tard soit bien définie. Cette méthode nous donne également, non seulement l'existence d'une solution, mais aussi un moyen de trouver la solution numériquement ainsi qu'une majoration de la vitesse de convergence uniforme d'une suite d'itérations de Picard, vers la solution.